摘要：CRC（Cyclic Redundancy Check）被廣泛用于數據通信過程中的差錯檢測，具有很強的檢錯能力。本文詳細介紹了CRC的基本原理，并且按照解釋通行的查表算法的由來的思路介紹了各種具體的實現方法。 1.差錯檢測 數據通信中，接收端需要檢測在傳輸過程中是否發(fā)生差錯，常用的技術有奇偶校驗（Parity Check），校驗和（Checksum）和CRC（Cyclic Redundancy Check）。它們都是發(fā)送端對消息按照某種算法計算出校驗碼，然后將校驗碼和消息一起發(fā)送到接收端。接收端對接收到的消息按照相同算法得出校驗碼，再與接收到的校驗碼比較，以判斷接收到消息是否正確。 奇偶校驗只需要1位校驗碼，其計算方法也很簡單。以奇檢驗為例，發(fā)送端只需要對所有消息位進行異或運算，得出的值如果是0，則校驗碼為1，否則為0。接收端可以對消息進行相同計算，然后比較校驗碼。也可以對消息連同校驗碼一起計算，若值是0則有差錯，否則校驗通過。通常說奇偶校驗可以檢測出1位差錯，實際上它可以檢測出任何奇數位差錯。 校驗和的思想也很簡單，將傳輸的消息當成8位（或16/32位）整數的序列，將這些整數加起來而得出校驗碼，該校驗碼也叫校驗和。校驗和被用在IP協議中，按照16位整數運算，而且其MSB（Most Significant Bit）的進位被加到結果中。 顯然，奇偶校驗和校驗和都有明顯的不足。奇偶校驗不能檢測出偶數位差錯。對于校驗和，如果整數序列中有兩個整數出錯，一個增加了一定的值，另一個減小了相同的值，這種差錯就檢測不出來。 2.CRC算法的基本原理 CRC算法的是以GF（2）（2元素伽羅瓦域）多項式算術為數學基礎的，聽起來很恐怖，但實際上它的主要特點和運算規(guī)則是很好理解的。 GF（2）多項式中只有一個變量x，其系數也只有0和1，如： 1＊x︿7 + 0＊x︿6 + 1＊x︿5 + 0＊x︿4 + 0＊x︿3 + 1＊x︿2 +1＊x︿1 + 1＊x︿0 即： x︿7 + x︿5 + x︿2 + x + 1 （x︿n表示x的n次冪） GF（2）多項式中的加減用模2算術執(zhí)行對應項上系數的加減，模2就是加減時不考慮進位和借位， 即： 0 + 0 = 0 0 - 0 = 0 0 + 1 = 1 0 - 1 = 1 1 + 0 = 1 1 - 0 = 1 1 + 1 = 0 1 - 1 = 0 顯然，加和減是一樣的效果（故在GF（2）多項式中一般不出現"-"號），都等同于異或運算。例 如P1 = x︿3 + x︿2 + 1，P2 = x︿3 + x︿1 + 1，P1 + P2為： x︿3 + x︿2 　　+ 1 + x︿3 + x + 1 —————————————————— x︿2 + x GF（2）多項式乘法和一般多項式乘法基本一樣，只是在各項相加的時候按模2算術進行，例如 P1 ＊ P2為： （x︿3 + x︿2 + 1）（x︿3 + x︿1 + 1） = （x︿6 + x︿4 + x︿3 + x︿5 + x︿3 + x︿2 + x︿3 + x + 1） = x︿6 + x︿5 + x︿4 + x︿3 + x︿2 + x + 1 GF（2）多項式除法也和一般多項式除法基本一樣，只是在各項相減的時候按模2算術進行，例 如P3 = x︿7 + x︿6 + x︿5 + x︿2 + x，P3 / P2為： x︿4 + x︿3 + 1 —————————————————————————————————————————— x︿3 + x + 1 ）x︿7 + x︿6 + x︿5 + x︿2 + x x︿7 + x︿5 + x︿4 ————————————————————- x︿6 + x︿4 x︿6 + x︿4 + x︿3 ————————————————————- x︿3 + x︿2 + x x︿3 + x + 1 ————————————————- x︿2 + 1 CRC算法將長度為m位的消息對應一個GF（2）多項式M，比如對于8位消息11100110，如果先傳輸MSB，則它對應的多項式為x︿7 + x︿6 + x︿5 + x︿2 + x。發(fā)送端和接收端約定一個次數為r的GF（2）多項式G，稱為生成多項式，比如x︿3 + x + 1，r = 3。在消息后面加上r個0對應的多項式為M’，顯然有M’ = Mx︿r。用M’除以G將得到一個次數等于或小于r - 1的余數多項式R，其對應的r位數值則為校驗碼。如下所示： 11001100 ————————————- 1011 ）11100110000 1011....... ————....... 1010...... 1011...... ————...... 1110... 1011... ————... 1010.. 1011.. ———— 100 <——-校驗碼 發(fā)送端將m位消息連同r位校驗碼（也就是M’ + R）一起發(fā)送出去，接收端按同樣的方法算出收到的m位消息的校驗碼，再與收到的校驗碼比較。接收端也可以用收到的全部m + r位除以生成多項式，再判斷余數是否為0。這是因為，M’ + R = （QG + R） + R = QG，這里Q是商。顯然，它也可以像發(fā)送端一樣，在全部m + r后再增加r個0，再除以生成多項式，如果沒有差錯發(fā)生，余數仍然為0。 3.生成多項式的選擇 很明顯，不同的生成多項式，其檢錯能力是不同的。如何選擇一個好的生成多項式需要一定的數學理論，這里只從一些側面作些分析。顯然，要使用r位校驗碼，生成多項式的次數應為r。生成多項式應該包含項"1"，否則校驗碼的LSB（Least Significant Bit）將始終為0。如果消息（包括校驗碼）T在傳輸過程中產生了差錯，則接收端收到的消息可以表示為T + E。若E不能被生成多項式G除盡，則該差錯可以被檢測出?？紤]以下幾種情況： 1）1位差錯，即E = x︿n = 100...00，n >= 0。只要G至少有2位1，E就不能被G除盡。這 是因為Gx︿k相當于將G左移k位，對任意多項式Q，QG相當于將多個不同的G的左移相加。 如果G至少有兩位1，它的多個不同的左移相加結果至少有兩位1。 2）奇數位差錯，只要G含有因子F = x + 1，E就不能被G除盡。這是因為QG = Q’F，由1） 的分析，F的多個不同的左移相加結果1的位數必然是偶數。 3）爆炸性差錯，即E = （x︿n + ... + 1）x︿m = 1...100...00，n >= 1，m >= 0，顯然只 要G包含項"1"，且次數大于n，就不能除盡E。 4）2位差錯，即E = （x︿n + 1）x︿m = 100...00100...00，n >= 0。設x︿n + 1 = QG + R， 則E = QGx︿m + Rx︿m，由3）可知E能被G除盡當且僅當R為0。因此只需分析x︿n + 1，根據[3]，對于次數r，總存在一個生成多項式G，使得n最小為2︿r - 1時，才能除盡x︿n + 1。稱該生成多項式是原始的（primitive），它提供了在該次數上檢測2位差錯的最高能力，因為當n = 2︿r - 1時，x︿n + 1能被任何r次多項式除盡。[3]同時指出，原始生成多項式是不可約分的，但不可約分的的多項式并不一定是原始的，因此對于某些奇數位差錯，原始生成多項式是檢測不出來的。 以下是一些標準的CRC算法的生成多項式： 標準 多項式 16進制表示 CRC12 x︿12 + x︿11 + x︿3 + x︿2 + x + 1 80F CRC16 x︿16 + x︿15 + x︿2 + 1 8005 CRC16-CCITT x︿16 + x︿12 + x︿5 + 1 1021 CRC32 x︿32 + x︿26 + x︿23 + x︿22 + x︿16 + x︿12 + x︿11 04C11DB7 + x︿10 + x︿8 + x︿7 + x︿5 + x︿4 + x︿2 + x + 1 16進制表示去掉了最高次項，CCITT在1993年改名為ITU-T。CRC12用于6位字節(jié)，其它用于8位字節(jié)。CRC16在IBM的BISYNCH通信標準。CRC16-CCITT被廣泛用于XMODEM, X.25和SDLC等通信協議。而以太網和FDDI則使用CRC32，它也被用在ZIP，RAR等文件壓縮中。在這些生成多項式中，CRC32是原始的，而其它3個都含有因子x + 1。 4.CRC算法的實現 ——————————————- 要用程序實現CRC算法，考慮對第2節(jié)的長除法做一下變換，依然是M = 11100110，G = 1011，其系數r為3。 11001100 11100110000 ————————————- 1011 1011 ）11100110000 ——————————- 1011....... 1010110000 ————....... 1010110000 1010...... 1011 1011...... ===> ——————————- ————...... 001110000 1110... 1110000 1011... 1011 ————... ——————————- 1010.. 101000 1011.. 101000 ———— 1011 100 <——-校驗碼 ——————————- 00100 100 <——-校驗碼 程序可以如下實現： 1）將Mx︿r的前r位放入一個長度為r的寄存器； 2）如果寄存器的首位為1，將寄存器左移1位（將Mx︿r剩下部分的MSB移入寄存器的LSB），再與G的后r位異或，否則僅將寄存器左移1位（將Mx︿r剩下部分的MSB移入寄存器的LSB）； 3）重復第2步，直到M全部Mx︿r移入寄存器； 4）寄存器中的值則為校驗碼。 用CRC16-CCITT的生成多項式0x1021，其C代碼（本文所有代碼假定系統(tǒng)為32位，且都在VC6上編譯通過）如下： unsigned short do_crc（unsigned char ＊message, unsigned int len） ｛ int i, j; unsigned short crc_reg; crc_reg = （message[0] << 8） + message[1]; for （i = 0; i < len; i++） ｛ if （i < len - 2） for （j = 0; j <= 7; j++） ｛ if （（short）crc_reg < 0） crc_reg = （（crc_reg << 1） + （message[i + 2] >> （7 - i））） ︿ 0x1021; else crc_reg = （crc_reg << 1） + （message[i + 2] >> （7 - i））; ｝ else for （j = 0; j <= 7; j++） ｛ if （（short）crc_reg < 0） crc_reg = （crc_reg << 1） ︿ 0x1021; else crc_reg <<= 1; ｝ ｝ return crc_reg; ｝ 顯然，每次內循環(huán)的行為取決于寄存器首位。由于異或運算滿足交換率和結合律，以及與0異 或無影響，消息可以不移入寄存器，而在每次內循環(huán)的時候，寄存器首位再與對應的消息位異或。改進的代碼如下： unsigned short do_crc（unsigned char ＊message, unsigned int len） ｛ int i, j; unsigned short crc_reg = 0; unsigned short current; for （i = 0; i < len; i++） ｛ current = message[i] << 8; for （j = 0; j < 8; j++） ｛ if （（short）（crc_reg ︿ current） < 0） crc_reg = （crc_reg << 1） ︿ 0x1021; else crc_reg <<= 1; current <<= 1; ｝ ｝ return crc_reg; ｝ 以上的討論中，消息的每個字節(jié)都是先傳輸MSB，CRC16-CCITT標準卻是按照先傳輸LSB，消息右移進寄存器來計算的。只需將代碼改成判斷寄存器的LSB，將0x1021按位顛倒后（0x8408）與寄存器異或即可，如下所示： unsigned short do_crc（unsigned char ＊message, unsigned int len） ｛ int i, j; unsigned short crc_reg = 0; unsigned short current; for （i = 0; i < len; i++） ｛ current = message[i]; for （j = 0; j < 8; j++） ｛ if （（crc_reg ︿ current） & 0x0001） crc_reg = （crc_reg >> 1） ︿ 0x8408; else crc_reg >>= 1; current >>= 1; ｝ ｝ return crc_reg; ｝ 該算法使用了兩層循環(huán)，對消息逐位進行處理，這樣效率是很低的。為了提高時間效率，通常的思想是以空間換時間?？紤]到內循環(huán)只與當前的消息字節(jié)和crc_reg的低字節(jié)有關，對該算法做以下等效轉換： unsigned short do_crc（unsigned char ＊message, unsigned int len） ｛ int i, j; unsigned short crc_reg = 0; unsigned char index; unsigned short to_xor; for （i = 0; i < len; i++） ｛ index = （crc_reg ︿ message[i]） & 0xff; to_xor = index; for （j = 0; j < 8; j++） ｛ if （to_xor & 0x0001） to_xor = （to_xor >> 1） ︿ 0x8408; else to_xor >>= 1; ｝ crc_reg = （crc_reg >> 8） ︿ to_xor; ｝ return crc_reg; ｝ 現在內循環(huán)只與index相關了，可以事先以數組形式生成一個表crc16_ccitt_table，使得to_xor = crc16_ccitt_table[index]，于是可以簡化為： unsigned short do_crc（unsigned char ＊message, unsigned int len） ｛ unsigned short crc_reg = 0; while （len——） crc_reg = （crc_reg >> 8） ︿ crc16_ccitt_table[（crc_reg ︿ ＊message++） & 0xff]; return crc_reg; ｝ crc16_ccitt_table通過以下代碼生成： int main（） ｛ unsigned char index = 0; unsigned short to_xor; int i; printf（"unsigned short crc16_ccitt_table[256] =\n｛"）; while （1） ｛ if （!（index % 8）） printf（"\n"）; to_xor = index; for （i = 0; i < 8; i++） ｛ if （to_xor & 0x0001） to_xor = （to_xor >> 1） ︿ 0x8408; else to_xor >>= 1; ｝ printf（"0x%04x", to_xor）; if （index == 255） ｛ printf（"\n"）; break; ｝ else ｛ printf（", "）; index++; ｝ ｝ printf（"｝;"）; return 0; ｝ 生成的表如下： unsigned short crc16_ccitt_table[256] = ｛ 0x0000, 0x1189, 0x2312, 0x329b, 0x4624, 0x57ad, 0x6536, 0x74bf, 0x8c48, 0x9dc1, 0xaf5a, 0xbed3, 0xca6c, 0xdbe5, 0xe97e, 0xf8f7, 0x1081, 0x0108, 0x3393, 0x221a, 0x56a5, 0x472c, 0x75b7, 0x643e, 0x9cc9, 0x8d40, 0xbfdb, 0xae52, 0xdaed, 0xcb64, 0xf9ff, 0xe876, 0x2102, 0x308b, 0x0210, 0x1399, 0x6726, 0x76af, 0x4434, 0x55bd, 0xad4a, 0xbcc3, 0x8e58, 0x9fd1, 0xeb6e, 0xfae7, 0xc87c, 0xd9f5, 0x3183, 0x200a, 0x1291, 0x0318, 0x77a7, 0x662e, 0x54b5, 0x453c, 0xbdcb, 0xac42, 0x9ed9, 0x8f50, 0xfbef, 0xea66, 0xd8fd, 0xc974, 0x4204, 0x538d, 0x6116, 0x709f, 0x0420, 0x15a9, 0x2732, 0x36bb, 0xce4c, 0xdfc5, 0xed5e, 0xfcd7, 0x8868, 0x99e1, 0xab7a, 0xbaf3, 0x5285, 0x430c, 0x7197, 0x601e, 0x14a1, 0x0528, 0x37b3, 0x263a, 0xdecd, 0xcf44, 0xfddf, 0xec56, 0x98e9, 0x8960, 0xbbfb, 0xaa72, 0x6306, 0x728f, 0x4014, 0x519d, 0x2522, 0x34ab, 0x0630, 0x17b9, 0xef4e, 0xfec7, 0xcc5c, 0xddd5, 0xa96a, 0xb8e3, 0x8a78, 0x9bf1, 0x7387, 0x620e, 0x5095, 0x411c, 0x35a3, 0x242a, 0x16b1, 0x0738, 0xffcf, 0xee46, 0xdcdd, 0xcd54, 0xb9eb, 0xa862, 0x9af9, 0x8b70, 0x8408, 0x9581, 0xa71a, 0xb693, 0xc22c, 0xd3a5, 0xe13e, 0xf0b7, 0x0840, 0x19c9, 0x2b52, 0x3adb, 0x4e64, 0x5fed, 0x6d76, 0x7cff, 0x9489, 0x8500, 0xb79b, 0xa612, 0xd2ad, 0xc324, 0xf1bf, 0xe036, 0x18c1, 0x0948, 0x3bd3, 0x2a5a, 0x5ee5, 0x4f6c, 0x7df7, 0x6c7e, 0xa50a, 0xb483, 0x8618, 0x9791, 0xe32e, 0xf2a7, 0xc03c, 0xd1b5, 0x2942, 0x38cb, 0x0a50, 0x1bd9, 0x6f66, 0x7eef, 0x4c74, 0x5dfd, 0xb58b, 0xa402, 0x9699, 0x8710, 0xf3af, 0xe226, 0xd0bd, 0xc134, 0x39c3, 0x284a, 0x1ad1, 0x0b58, 0x7fe7, 0x6e6e, 0x5cf5, 0x4d7c, 0xc60c, 0xd785, 0xe51e, 0xf497, 0x8028, 0x91a1, 0xa33a, 0xb2b3, 0x4a44, 0x5bcd, 0x6956, 0x78df, 0x0c60, 0x1de9, 0x2f72, 0x3efb, 0xd68d, 0xc704, 0xf59f, 0xe416, 0x90a9, 0x8120, 0xb3bb, 0xa232, 0x5ac5, 0x4b4c, 0x79d7, 0x685e, 0x1ce1, 0x0d68, 0x3ff3, 0x2e7a, 0xe70e, 0xf687, 0xc41c, 0xd595, 0xa12a, 0xb0a3, 0x8238, 0x93b1, 0x6b46, 0x7acf, 0x4854, 0x59dd, 0x2d62, 0x3ceb, 0x0e70, 0x1ff9, 0xf78f, 0xe606, 0xd49d, 0xc514, 0xb1ab, 0xa022, 0x92b9, 0x8330, 0x7bc7, 0x6a4e, 0x58d5, 0x495c, 0x3de3, 0x2c6a, 0x1ef1, 0x0f78 ｝; 這樣對于消息unsigned char message[len]，校驗碼為： unsigned short code = do_crc（message, len）; 并且按以下方式發(fā)送出去： message[len] = code & 0x00ff; message[len + 1] = （code >> 8） & 0x00ff; 接收端對收到的len + 2字節(jié)執(zhí)行do_crc，如果沒有差錯發(fā)生則結果應為0。 在一些傳輸協議中，發(fā)送端并不指出消息長度，而是采用結束標志，考慮以下幾種差錯： 1）在消息之前，增加1個或多個0字節(jié)； 2）消息以1個或多個連續(xù)的0字節(jié)開始，丟掉1個或多個0； 3）在消息（包括校驗碼）之后，增加1個或多個0字節(jié)； 4）消息（包括校驗碼）以1個或多個連續(xù)的0字節(jié)結尾，丟掉1個或多個0； 顯然，這幾種差錯都檢測不出來，其原因就是如果寄存器值為0，處理0消息字節(jié)（或位），寄存器值不變。為了解決前2個問題，只需寄存器的初值非0即可，對do_crc作以下改進： unsigned short do_crc（unsigned short reg_init, unsigned char ＊message, unsigned int len） ｛ unsigned short crc_reg = reg_init; while （len——） crc_reg = （crc_reg >> 8） ︿ crc16_ccitt_table[（crc_reg ︿ ＊message++） & 0xff]; return crc_reg; ｝ 在CRC16-CCITT標準中reg_init = 0xffff，為了解決后2個問題，在CRC16-CCITT標準中將計算出的校驗碼與0xffff進行異或，即： unsigned short code = do_crc（0xffff, message, len）; code ︿= 0xffff; message[len] = code & 0x00ff; message[len + 1] = （code >> 8） & 0x00ff; 顯然，現在接收端對收到的所有字節(jié)執(zhí)行do_crc，如果沒有差錯發(fā)生則結果應為某一常值GOOD_CRC。其滿足以下關系： unsigned char p[]= ｛0xff, 0xff｝; GOOD_CRC = do_crc（0, p, 2）; 其結果為GOOD_CRC = 0xf0b8。 參考文獻 ———————— [1] Ross N. 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