柔性臂因其質量輕、結構設計緊湊等優(yōu)點被廣泛應用在航天器、柔性機器人等領域，但是，其末端在運行過程中易產(chǎn)生抖動，嚴重影響其工作效率和定位精度，甚至危害整個系統(tǒng)的安全。國內外研究人員針對柔性臂的振動抑制問題，提出了PID控制、模糊控制、自適應控制、滑模變結構控制、最優(yōu)控制等控制方法，對柔性臂振動抑制的反饋控制方法進行了探討。輸入整形技術由Singer和Seering首次提出，被廣泛應用于柔性結構的振動抑制，該方法屬于前饋控制方法，也是一種獨特的振動抑制方法。Youmin等將輸入整形技術應用于橋式起重機，抑制抖動的同時也提高了起重機的運輸效率；Alsaibie等應用輸入整形抑制了液體在運輸過程中的晃動；Dhanda等對輸入整形器進行改進，設計最優(yōu)輸入整形器有效抑制了起重機的殘留振動；Pradhan等將輸入整形與自適應控制結合來控制擺動負載的左右晃動。但是輸入整形技術在抑制柔性系統(tǒng)振動的同時會導致系統(tǒng)響應時間延遲，嚴重降低系統(tǒng)的工作效率。

本文針對輸入整形技術引起的響應時間延遲問題，基于最優(yōu)控制理論設計最優(yōu)輸入整形器以減小系統(tǒng)的響應時間，并將最優(yōu)輸入整形器與模糊PID控制器結合進行柔性臂的振動抑制。

柔性臂動力學模型

繞伺服電機轉軸旋轉運動的柔性臂機械結構和物理模型如圖1所示。圖1(a)中，伺服電機轉軸與轉盤連接，柔性臂的一端通過轉盤夾頭連接在電機轉軸上，質量塊附于另一端，基座用于固定整個實驗平臺。

圖1(b)中，設以電機轉軸中心O為原點建立慣性系XOY和體坐標系xOy，柔性臂的彈性模量為E，橫截面對中性軸的慣性矩為I，密度為，截面面積為A，長度為l，末端質量塊質量為ml，伺服電機轉軸、轉盤的轉動慣量之和為J0，柔性臂運動所對應剛體轉角為θ(t)，轉軸輸入控制力矩為u(t)。

圖1柔性臂機械結構與物理模型

假設柔性臂橫向振動遠大于軸向振動且橫向振動較小，根據(jù)振動力學原理，柔性臂可視為Euler-Bernoulli梁。設P(X,Y)為時刻t的柔性臂上任意一點的坐標，w(x,t)為P點在坐標系xOy下的橫向彈性振動位移，根據(jù)Euler-Bernoulli梁的振動理論，均勻材料等截面柔性臂的彎曲自由振動微分方程為

                     (1)

由假設模態(tài)法，設

                    (2)

式中，Wi(x)為柔性臂在x處的振型函數(shù)或模態(tài)函數(shù)，qi(t)是相應振型的幅值，稱為模態(tài)坐標。

定義，根據(jù)柔性臂的四個邊界條件

圖9柔性臂振動抑制的實驗平臺