摘要：目的本文以雙關(guān)節(jié)SCARA機(jī)械臂為對象，研究在其關(guān)節(jié)角度可測、角速度不可測情況下的力控制問題。方法基于觀測器理論，文章中利用Walcott-Zak觀測器改進(jìn)后的魯棒滑模觀測器，對系統(tǒng)的狀態(tài)變量進(jìn)行觀測，用滑模控制方法實(shí)現(xiàn)對工業(yè)機(jī)器人的力控制。結(jié)果通過Matlab對觀測器的觀測效果控制器的控制效果進(jìn)行實(shí)際的仿真，結(jié)果表明估計(jì)值會很快速的收斂于實(shí)際值，且機(jī)械臂的末端力很好的跟蹤期望力。結(jié)論運(yùn)用改進(jìn)后的魯棒滑模觀測器對機(jī)械臂力控制系統(tǒng)的關(guān)節(jié)角速度估計(jì)效果是良好的，具有良好的魯棒性，且為滑模力控制提供了比較準(zhǔn)確的角速度值，并且在滑模力控制器的作用下，得到了良好的力/位跟蹤效果。

關(guān)鍵詞：工業(yè)機(jī)器人；滑模觀測器；力控制；滑模控制

1.引言

工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)是一個復(fù)雜的多輸入，多輸出的非線性系統(tǒng)，受負(fù)載變化以及各種不可預(yù)見的外部干擾和不確定因素的影響[1,2]。所以我們對工業(yè)機(jī)器人進(jìn)行控制時(shí)，面臨著許多問題。特別是在工業(yè)機(jī)器人力控制方面，我們面臨著控制模型精確度，控制噪聲大干擾大等問題。

滑模變結(jié)構(gòu)控制是20世紀(jì)50年代由前蘇聯(lián)學(xué)者Emelyano提出的變結(jié)構(gòu)控制,它以其獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn),為不確定性系統(tǒng)提供了一種很有前途的系統(tǒng)控制綜合方法[3]。在工業(yè)機(jī)器人力/位置控制方面，混合控制方法能很好的實(shí)現(xiàn)力位控制解耦，但其主要缺點(diǎn)是系統(tǒng)模型的精度要求較高，為了解決這一問題，文獻(xiàn)[4,5]采用滑膜控制對系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行直接補(bǔ)償，消除參數(shù)的不確定性。文獻(xiàn)[6,7]采用基于參考模型的自適應(yīng)控制方法，設(shè)計(jì)自適應(yīng)調(diào)整率,來解決參數(shù)補(bǔ)償?shù)拿つ啃?。通過以上文獻(xiàn)可以看出，滑膜控制理論在工業(yè)機(jī)器人控制的作用是有效的。

利用簡單有效的辦法，使控制系統(tǒng)更加準(zhǔn)確快速，是我們共同追求的目標(biāo)。

2．問題提出及解決方案

在機(jī)械臂進(jìn)行力控制當(dāng)中，需要檢測實(shí)際力來作為控制所需要的量。但在實(shí)際情況下，可以測得機(jī)械臂的關(guān)節(jié)角度和位置，但無法通過傳感器來測得機(jī)械臂關(guān)節(jié)角加速度。如何利用有效的方法，克服這些不確定條件，實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確的力控制效果，是本文的重點(diǎn)研究問題。

Walcott和Zak等人采用變結(jié)構(gòu)技術(shù),提出了Walcott-Zak觀測器,對系統(tǒng)中的非線性/不確定性均具有魯棒性[8]。但在實(shí)際的設(shè)計(jì)當(dāng)中，設(shè)計(jì)參數(shù)矩陣必須滿足假設(shè)的條件設(shè)計(jì)過程繁瑣，當(dāng)系統(tǒng)維數(shù)較高時(shí)難以設(shè)計(jì)，利用改進(jìn)后的魯棒滑模觀測器，能夠?qū)崿F(xiàn)很好的效果，即具有很強(qiáng)的魯棒性，設(shè)計(jì)過程也變得簡單。

運(yùn)用改進(jìn)的Walcott-Zak觀測器，來觀測關(guān)節(jié)角加速度，并且利用滑模力位混合控制器實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂的力控制，這是本文的方案設(shè)想。

3.模型的建立

以SCARA機(jī)器人為研究對象，如圖1所示，其動力學(xué)模型如下：

                    （1）

其中，表示各個關(guān)節(jié)的位置向量，，分別表示各個關(guān)節(jié)的角速度和角加速度，表示作用于關(guān)節(jié)上的轉(zhuǎn)矩矢量，是機(jī)器人對稱且正定有界的慣性矩陣，是機(jī)器人向心力和哥氏力矩陣，表示庫倫摩擦力。且矩陣M和H可由下式準(zhǔn)確計(jì)算得到：

                      （2）

為常數(shù)。

圖1SCARA機(jī)器人模型

其中動力學(xué)模型特性如下:

式（1）所示的機(jī)器人動力學(xué)方程有一些特性，有利于對該系統(tǒng)模型的研究及其觀測器的設(shè)計(jì)與分析，特性如下[9]：

特性1    慣性矩陣是對稱正定的，對所有的一致有界，即

，為正常數(shù)。                      （4）

特性2    哥氏力矩陣滿足：

，為正常數(shù)。                      （5）

特性3    斜對稱性：對適當(dāng)選定的哥氏力矩陣有：

                      （6）

4.動力學(xué)狀態(tài)方程及狀態(tài)觀測器的設(shè)計(jì)

4.1動力學(xué)狀態(tài)方程

通過式（1）的機(jī)器人動力學(xué)模型，經(jīng)變換可得[10]：

                      （7）

其中，

                      （8）

且

令變量，其中：，，則有

                      （9）

其中，

則機(jī)器人的動力學(xué)模型可寫成如下形式，

                      （10）

其中，

4.2狀態(tài)觀測器的設(shè)計(jì)

將式（10）可以變?yōu)槿缦滦问?/p>

                      （11）

其中，。

且滿足，其中為正實(shí)數(shù)，為已知函數(shù)。

對于上面的系統(tǒng)，提出如下形式的魯棒滑模觀測器

                      （12）

有上面式（11）和式（12）得到偏差方程為

                      （13）

式中?；ＴO(shè)計(jì)如下：

                      （14）

式中C為系統(tǒng)的輸出矩陣，，且存在Lyapunov對

滿足

，                      （15）

假設(shè)系統(tǒng)與觀測器的偏差有界，為正常數(shù)，提出如下滑模策略：

                      （16）

且p滿足時(shí)我們設(shè)計(jì)參數(shù)矩陣F使得（的說明見下面的證明）為Hurwitz矩陣，使系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，即其偏差系統(tǒng)達(dá)到滑模面以后將漸進(jìn)收斂到平衡點(diǎn)。

對于矩陣F的選取采用如下算法：

(1)選擇的譜，計(jì)算相應(yīng)的矩陣L；

(2)用矩陣F各個元素符號表示出矩陣M

(3)設(shè)計(jì)F使其矩陣為Hurwitz矩陣。

收斂性證明：選取Lyapunov函數(shù)沿著偏差系統(tǒng)（13），且

                      （17）

設(shè)計(jì)參數(shù)且偏差將策略（16）代入得

                      （18）

所以，。根據(jù)文獻(xiàn)[11]可得有線時(shí)間內(nèi)偏差系統(tǒng)到達(dá)滑模平面。

到達(dá)滑模平面后

                      （19）

式子是將滑模面的分塊形式。

即將式（13）分為

                      （20）

                      （21）

定義矩陣

                      （22）

通過式（19）可以得到

                      （23）

代入（20）得

                      （24）

所以在設(shè)計(jì)時(shí)保證F使得為Hurwitz矩陣，這樣使系統(tǒng)（24）漸進(jìn)穩(wěn)定，且保證偏差系統(tǒng)（13）到達(dá)滑模面后趨于穩(wěn)態(tài)。

5.滑模力控制器設(shè)計(jì)

在力控制器設(shè)計(jì)方面采用力位混合控制的方案，并且逐一設(shè)計(jì)其位置控制器和力控制器。

圖2力位混合控制結(jié)構(gòu)圖

5.1位置控制部分控制器的設(shè)計(jì)

位置控制器本文采用簡單的滑?？刂破?，位置控制部分實(shí)現(xiàn)的是一個軌跡跟蹤控制，通過控制器，實(shí)現(xiàn)在機(jī)械臂在位置控制方向，實(shí)際位置對期望位置的跟蹤。

定義控制系統(tǒng)位置跟蹤的誤差矩陣：

                      （25）

其中，分別表示兩個關(guān)節(jié)角度和叫數(shù)度的跟蹤誤差，且和分別表示兩個關(guān)節(jié)的角度和角速度的估計(jì)值，分別為系統(tǒng)期望的關(guān)節(jié)角度和角速度。

滑?？刂破鞯幕：瘮?shù)向量設(shè)計(jì)為：

                      （26）

選取Lyapunov函數(shù)如下：

                      （27）

且由式（25）得：

                      （28）

根據(jù)狀態(tài)方程可得：

                      （27）

，                      （28）

所以矩陣表示關(guān)節(jié)1,2的觀測誤差。

根據(jù)趨近律方法，有

                      （29）

且其中

                      （30）

式中；

，

；

為設(shè)計(jì)參數(shù)，且

可以通過觀測器觀測值和觀測誤差，且只要控制增益矩陣為可逆矩陣，則可以設(shè)計(jì)控制律為

                      （31）

通過Walcott-Zak觀測器改進(jìn)后的魯棒滑模觀測器，得到兩個關(guān)節(jié)的角速度觀測值，然后利用滑?？刂破?，是的機(jī)械臂在位置控制方向?qū)崿F(xiàn)很好的位置跟蹤。

5.2力控制部分控制器的設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)機(jī)器人力控制器，需要把動力學(xué)方程變化如下：

                      （32）

式中為在操作空間中機(jī)器人末端受到的力向量，，J為雅克比矩陣；；

X為機(jī)器人末端在操作空間中的位移；

。

取期望的末端力為，利用

                      （33）

理想機(jī)器人末端位置為定義滑模函數(shù)為

                      （34）

其中

則

                      （35）

所以滑模力控制器為

                      （36）

通過位置控制器得到的位置控制力矩與通過力控制器得到的力控制力矩相加，得到最終的機(jī)器臂控制力矩

，即：

                      （37）

6.實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)定及仿真效果

根據(jù)雙關(guān)節(jié)的SCARA機(jī)器人動力學(xué)模型以及式（10）式（11），進(jìn)行Matlab仿真工作，來驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的魯棒滑模觀測器可成功的估計(jì)出機(jī)器人角速度，以及力位控制器的跟蹤效果。

給定其中的。系統(tǒng)初始狀態(tài)

為，觀測器初始狀態(tài)為

。并且給定期望的關(guān)節(jié)角度和關(guān)節(jié)加速度為。

對于如上系統(tǒng)，提出的魯棒滑模觀測器的設(shè)計(jì)方法如下：

1）滿足使為Hurwitz矩陣，選取；

2）選取，根據(jù)，保證P對稱，且使得為Hurwitz矩陣。

3）根據(jù)，求出，且保證其對稱，正定。

4）求得，選取。

其仿真結(jié)果如圖3~6。

圖3  實(shí)際值與觀測值

圖4  實(shí)際值與觀測值

圖5  實(shí)際值與觀測值

圖6  實(shí)際值與觀測值

由觀測器的仿真結(jié)果表明，開始的幾秒內(nèi)，觀測器的估計(jì)值與系統(tǒng)的實(shí)際值存在一定的偏差，但很快的收斂于實(shí)際值，保證了觀測轉(zhuǎn)態(tài)的誤差逐漸的趨近于零。保證了其很好的觀測效果。

在上面的觀測器仿真的基礎(chǔ)上，我們進(jìn)行力位置控制仿真設(shè)定參數(shù)。其中，位置控制器參數(shù)為

，為零矩陣。力控制器參數(shù)

。

圖7關(guān)節(jié)1實(shí)際值與期望值圖

8關(guān)節(jié)2實(shí)際值與期望值

圖9機(jī)械臂末端力跟蹤效果

通過仿真可以看出，通過基于觀測器的機(jī)械臂力控制方法，在開始時(shí)存在一定的誤差，但經(jīng)過很短的時(shí)間，即實(shí)現(xiàn)了很好的力位置跟蹤效果。

7.結(jié)論

本文針對在機(jī)器人的力控制當(dāng)中，需要通過測得的實(shí)際關(guān)節(jié)角度以及角速度來作為控制參數(shù)，而實(shí)際控制當(dāng)中無法通過傳感器準(zhǔn)確的測得其關(guān)節(jié)角速度的問題開展了設(shè)想與理論的研究。本文以SCARA雙關(guān)節(jié)機(jī)械臂為例，通過對機(jī)器人動力模型的變換，設(shè)計(jì)出一種基于Walcott-Zak觀測器改進(jìn)型的魯棒滑模觀測器來針對系統(tǒng)的狀態(tài)變量實(shí)行觀測，并且通過滑模力位混合控制器，實(shí)現(xiàn)了機(jī)器人力控制。通過仿真結(jié)果可以看出，改進(jìn)型的魯棒滑模觀測器具有很好的觀測效果。且所設(shè)計(jì)的力位混合控制，在實(shí)際力跟蹤控制當(dāng)中，表現(xiàn)出良好的跟蹤控制能力，具有很強(qiáng)的魯棒性。

致謝！遼寧省科技創(chuàng)新重大專項(xiàng)項(xiàng)目(201302001）；國家自然科學(xué)基金(61100159).