摘　要：在使用FFT進(jìn)行頻譜分析的時(shí)候，自身的一些缺點(diǎn)難以克服。由于諧振器件有著一些優(yōu)良的特性，本文嘗試用諧振原理進(jìn)行單頻點(diǎn)檢測(cè)及頻譜分析，推導(dǎo)出諧振子的設(shè)計(jì)和仿真公式，并用實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證，初步論證了其可行性。 關(guān)鍵詞：諧振；頻譜分析；設(shè)計(jì)；仿真；FFT Testof a Single Frequency Pointand SpectrumAnalysis Using Resonance Principle 　　SHIXianfeng，GEMeiqing，ZHANG Xuezhi 　　（Schoolof Electronic Information Engineering，Xi′an Institute of Technology，Xi′an，710032，China） 　　Abstract：There are some inherent disadvantages when analyzing spectrum by FFT．For the prefect characteristics of resonantcomponents，the design and simulation formulas are deduced in the paper based on resonantprinciple to analyze spectrum or detect asingle frequency．The result ofexperiments indicates its feasibility． 對(duì)信號(hào)進(jìn)行頻譜分析時(shí)，快速傅里葉變換（FFT）是最為常用的方法。但FFT存在一些難以克服的問題，限制了他的應(yīng)用。在進(jìn)行FFT的實(shí)際運(yùn)算時(shí)，只能對(duì)時(shí)域信號(hào)進(jìn)行有限長(zhǎng)度的截取，這將引起“泄露”現(xiàn)象［1］，F(xiàn)FT還存在著頻域分辨率和時(shí)間分辨率的矛盾，方差性能也較差［2］。 　　諧振器件的重復(fù)性、分辨率和穩(wěn)定性非常優(yōu)良，因此利用諧振原理并用數(shù)字方式進(jìn)行單頻點(diǎn)檢測(cè)及頻譜分析，就可以不受敏感元件材料的限制，設(shè)計(jì)出性能優(yōu)異的單頻點(diǎn)檢測(cè)及頻譜分析系統(tǒng)。 1　基本原理 諧振原理可以由諧振子的振動(dòng)特性來說明。諧振子在工作的過程中，可以等效為一個(gè)單自由度的系統(tǒng)，如圖1所示，其動(dòng)力學(xué)方程為： 其中：m為振動(dòng)系統(tǒng)的等效質(zhì)量（kg）； c為振動(dòng)系統(tǒng)的等效阻尼系數(shù)（Ns/m）； k為振動(dòng)系統(tǒng)的等效剛度（N/m）； 阻尼比系數(shù)或阻尼率。當(dāng)ξ<<1時(shí)系統(tǒng)處于弱阻尼狀態(tài)，系統(tǒng)響應(yīng)為： 瞬態(tài)響應(yīng)是一個(gè)阻尼振蕩，振幅和初相位取決于初始條件，振幅按衰減；穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其頻率等于F的頻率。F0/k是系統(tǒng)在靜負(fù)荷F0作用下產(chǎn)生的變形，稱為“靜變位”，而系統(tǒng)外力作用下產(chǎn)生的等幅振蕩實(shí)質(zhì)上是一種“動(dòng)態(tài)變位”。H（ω）＝B/（F0/k）稱為動(dòng)力放大因子。 當(dāng)λ≪1時(shí)，H（ω）說明當(dāng)激勵(lì)頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于系統(tǒng)固有頻率時(shí)，系統(tǒng)振幅也近似等于靜變位。當(dāng)λ>> 1，H（ω）→0，這是因?yàn)镕頻率非常高，系統(tǒng)由于慣性而來不及隨之振動(dòng)。當(dāng)λ1時(shí)，B急劇增大，發(fā)生共振。 [B]2　系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)[B] 系統(tǒng)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵在于： 　?。?）如何根據(jù)要求計(jì)算諧振子的參數(shù)m，c和k?！　? 　?。?）設(shè)計(jì)好諧振子參數(shù)后，如何實(shí)現(xiàn)其關(guān)于具體輸入信號(hào)的響應(yīng)。 2．1　諧振子設(shè)計(jì)公式的推導(dǎo) 若給定諧振子的諧振頻率ωr和諧振時(shí)系統(tǒng)的幅度放大倍數(shù)Hm，需要得到其等效質(zhì)量m、等效阻尼系數(shù)c和等效剛度k。工程上將諧振子的幅度增益達(dá)到最大時(shí)的工作 狀態(tài)定義為諧振狀態(tài)，諧振頻率可以描述為： 為了方便計(jì)算和理解，可以令k＝1（N/m），這時(shí)系統(tǒng)的“靜變位”等于外力的幅值F0，Hm即為系統(tǒng)諧振時(shí)諧振子對(duì)于作用外力F（t）的振幅放大倍數(shù)。解此方程組即可以得到式（6）： 在式（6）中，c還可以表示為： 2．2　系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn) 系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的方法主要有： 　?。?）歐拉法及其改進(jìn)。 　?。?）線性加速度法。 　　（3）紐馬克－β法。 　　（4）威爾遜－θ法［3］。 根據(jù)后面的實(shí)驗(yàn)，威爾遜－θ法效果最好，所以具體討論威爾遜－θ法。 威爾遜－θ法實(shí)際上是線性加速度法的一種變形，他是假設(shè)從t時(shí)刻到t＋θΔt時(shí)刻加速度是線性變化的，由此可以得到以下方程組： 用不同的解法進(jìn)行求解，可以得到不同的公式，這里選用比較流行的一組公式： 為了降低計(jì)算量，還可以將此公式進(jìn)一步簡(jiǎn)化為： 其中，a1～4，b1～4和c1～4都是與k，m，c，Δt，θ相關(guān)的常數(shù)，由于他們和k，m，c，Δt，θ的關(guān)系過于復(fù)雜，這里不再給出。 3　仿真和實(shí)驗(yàn) 為了驗(yàn)證設(shè)計(jì)公式的正確性，用VC＋＋和Matlab 6混合編程方式編寫了一個(gè)諧振子仿真程序，該程序由3部分組成： 　?。?）仿真主界面。 　　（2）輸入信號(hào)設(shè)置界面。 　?。?）系統(tǒng)參數(shù)設(shè)計(jì)計(jì)算界面。 他的主要功能也相應(yīng)地分為3個(gè)部分： （1）諧振子的運(yùn)動(dòng)仿真（可以選擇使用不同的仿真算法，包括前面提到的4種算法）。 （2）設(shè)定輸入信號(hào)F（t）的各個(gè)頻率分量及其大?。ㄝ斎胄盘?hào)由1～7個(gè)任意頻率的正弦信號(hào)組成）。 （3）諧振子參數(shù)的計(jì)算。 使用此程序可以進(jìn)行單個(gè)頻率點(diǎn)檢測(cè)的實(shí)驗(yàn)，其主界面如圖2所示。 首先使用式（6）設(shè)計(jì)了一個(gè)諧振頻率為100 Hz，Hm83為10的諧振子，其參數(shù)為：m＝2．52 kg，c＝0．000 158 Ns/m，k＝1 N/m。其幅頻和相頻響應(yīng)曲線如圖3所示。 實(shí)驗(yàn)先驗(yàn)證各個(gè)仿真算法的穩(wěn)定性。對(duì)于威爾遜-θ法，取θ＝1．40，輸入信號(hào)頻率為100 Hz，當(dāng)采樣頻率改變時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示。 從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，只要采樣頻率是輸入信號(hào)頻率的3倍以上，威爾遜－θ法都是穩(wěn)定的。其他幾個(gè)方法也做了同樣的實(shí)驗(yàn)，結(jié)果都不是很穩(wěn)定。當(dāng)采樣頻率是輸入信號(hào)頻率的50倍以上時(shí)，Hm的仿真效果十分接近設(shè)計(jì)值，這也驗(yàn)證了設(shè)計(jì)公式的正確性。所以，以下的實(shí)驗(yàn)都采用威爾遜－θ法。 取θ＝1．40，采樣頻率為2 000 Hz，則輸入信號(hào)頻率改變時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2所示。 從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，當(dāng)輸入信號(hào)在諧振頻率附近改變的時(shí)候，諧振的現(xiàn)象很明顯。 取輸入信號(hào)頻率為100 Hz，采樣頻率為2 000 Hz，當(dāng)θ改變時(shí)，威爾遜－θ法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表3所示。從這個(gè)實(shí)驗(yàn)可以看出，當(dāng)θ＜1．37時(shí)，雖然Hm的仿真值更接近設(shè)計(jì)值，但是系統(tǒng)有點(diǎn)不太穩(wěn)定。當(dāng)θ＞1．42以上時(shí)，Hm的仿真值與設(shè)計(jì)值偏差變大，所以合理的θ值應(yīng)選取在1．37與1．40之間。 如果將實(shí)際信號(hào)直接作用于該仿真系統(tǒng)，選取合適的諧振子參數(shù)，即可以實(shí)現(xiàn)單頻點(diǎn)檢測(cè)。若要進(jìn)行頻譜分析，只需根據(jù)頻率分辨率的要求在不同的頻率點(diǎn)設(shè)計(jì)出多個(gè)諧振子，將輸入信號(hào)并行作用于各個(gè)諧振子即可，各個(gè)諧振子的工作情況與上述單個(gè)諧振子的工作情況相同。 4　結(jié)語(yǔ) 由以上的實(shí)驗(yàn)和分析可以看出，使用諧振原理進(jìn)行單頻點(diǎn)檢測(cè)及頻譜分析是可行的，本文推導(dǎo)的諧振子參數(shù)設(shè)計(jì)公式也是正確的。在仿真方法中，威爾遜－θ法是一個(gè)十分出色的算法，只要θ＞1．37、采樣頻率是輸入信號(hào)頻率的3倍以上即可確保仿真是穩(wěn)定的。 由于這種方法不存在對(duì)輸入信號(hào)的截取，所以在進(jìn)行頻譜分析時(shí)不必?fù)?dān)心FFT方法中出現(xiàn)的泄露現(xiàn)象，只要選取合適的諧振子參數(shù)和采樣頻率，通過諧振子的振幅就可以很好地反映出輸入信號(hào)在該頻點(diǎn)附近的頻譜分量。只是用此方法進(jìn)行頻譜分析時(shí)，計(jì)算量有點(diǎn)大。如果輸入信號(hào)長(zhǎng)度為N，諧振子個(gè)數(shù)為M，并使用簡(jiǎn)化后的迭代公式，需要12×M×N次浮點(diǎn)乘法運(yùn)算，但是考慮到低頻率的諧振子可以采用更低的采樣率，所以可以適當(dāng)?shù)亟档瓦\(yùn)算量。 參考文獻(xiàn) ［1］樊尚春，周浩敏．信號(hào)與測(cè)試技術(shù)［M］．北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2002． ［2］胡廣書．?dāng)?shù)字信號(hào)處理理論、算法與實(shí)現(xiàn)［M］．北京：清華大學(xué)出版社，1997． ［3］尚濤，石端偉，安寧．工程計(jì)算可視化與Matlab實(shí)現(xiàn)［M］．武漢：武漢大學(xué)出版社，2002． ［4］洪水棕，方之楚，單雪雄．現(xiàn)代測(cè)試技術(shù)［M］．上海：上海交通大學(xué)出版社，2002． ［5］范云霄，劉樺．測(cè)試技術(shù)與信號(hào)處理［M］．北京：中國(guó)計(jì)量出版社，2002． ［6］Sophocles Orfanidis J．Introduction to signal processing ［M］．Prentice - Hall ,1998. 出處：現(xiàn)代電子技術(shù)