1 引言

非線性系統(tǒng)在現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在，可以說絕大多數(shù)系統(tǒng)是非線性的，例如衛(wèi)星的定位與姿態(tài)控制系統(tǒng)、機(jī)器人控制系統(tǒng)、精密數(shù)控機(jī)床控制系統(tǒng)等等，這些都不可能采用線性模型，因此研究非線性系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題有重要的理論及應(yīng)用價(jià)值。因?yàn)閷?duì)非線性系統(tǒng)的最優(yōu)控制，根據(jù)極大值原理會(huì)導(dǎo)致求解一個(gè)非線性的兩點(diǎn)邊界問題。一般來說，該類問題的解析解往往是不存在的，所以目前對(duì)該課題的研究主要集中在其近似解的求解方面，比如Galerkin逐次逼近法，求解非線性HJB方程的級(jí)數(shù)展開法，求解狀態(tài)依賴的Riccati方程（Stata-DependentRiccatiEquation,SDRE）迭代解法，準(zhǔn)線性化方法、梯度法等迭代方法，基于向量微分方程迭代的逐次逼近方法等等。近年來隨著以微分幾何為工具的精確線性化方法的發(fā)展，對(duì)部分非線性系統(tǒng)可以通過適當(dāng)?shù)姆蔷€性狀態(tài)變換和反饋?zhàn)儞Q，實(shí)現(xiàn)非線性系統(tǒng)的偽線性化，從而應(yīng)用成熟的線性系統(tǒng)理論和方法。

本文針對(duì)非線性單連接機(jī)器人系統(tǒng)給出一種設(shè)計(jì)精確反饋線性化最優(yōu)控制器的方法。首先，給出非線性單連接機(jī)器人的系統(tǒng)模型，并對(duì)最優(yōu)控制問題進(jìn)行描述；其次，通過微分同胚坐標(biāo)變換，將非線性單連接機(jī)器人系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)變?yōu)閭尉€性系統(tǒng)模型；再次，在此基礎(chǔ)上給出了在關(guān)系度r等于系統(tǒng)階數(shù)n的情況下基于二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制器的設(shè)計(jì)方法；最后，通過求解Riccati方程得到系統(tǒng)最優(yōu)控制率。

2 問題描述

考慮如下非線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程：

2.1 相關(guān)的微分幾何概念

為了完整的說明狀態(tài)反饋精確線性化的設(shè)計(jì)原理，首先給出在推導(dǎo)中使用的一些相關(guān)的微分幾何概念，包括關(guān)系度r和Lie導(dǎo)數(shù)的概念。

定理1考慮由系統(tǒng)（2）描述的線性系統(tǒng)關(guān)于性能指標(biāo)（14）的LQR最優(yōu)控制問題。假設(shè)系統(tǒng)完全可觀、可控，則系統(tǒng)的LQR最優(yōu)控制率唯一存在。其表示形式為：

結(jié)合式（13）得到系統(tǒng)的最優(yōu)控制率：

3 控制系統(tǒng)在單連接機(jī)器人上的應(yīng)用

單連接機(jī)器人的模型可以表示為：

圖1 仿真曲線

4 結(jié)論

本文針對(duì)非線性系統(tǒng)，研究了基于狀態(tài)反饋精確線性化最優(yōu)控制器的設(shè)計(jì)問題，給出了關(guān)系度r等于系統(tǒng)階數(shù)n時(shí)的非線性系統(tǒng)精確最優(yōu)控制器的設(shè)計(jì)方法，最后通過對(duì)單連接機(jī)器人非線性模型設(shè)計(jì)基于狀態(tài)反饋精確線性化的最優(yōu)控制器，仿真結(jié)果表明，本文設(shè)計(jì)的控制器效果非常好且易于實(shí)現(xiàn)。