摘  要: 本文是以線性系統(tǒng)為被控對(duì)象，以二次型泛函指標(biāo)為性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題，利用線性二次型最優(yōu)控制理論實(shí)現(xiàn)磁懸浮系統(tǒng)的平穩(wěn)控制。由于特殊的指標(biāo)形式和系統(tǒng)對(duì)象的線性性質(zhì)，使所討論的帶有等式約束的動(dòng)態(tài)優(yōu)化問題可以獲得基于Riccati方程表達(dá)的線性狀態(tài)反饋，并在此基礎(chǔ)上建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，同時(shí)，利用MATLAB仿真和PID控制仿真結(jié)果進(jìn)行比較，該方案可以得到更為滿意的結(jié)果。

關(guān)鍵詞: 線性二次型，磁懸浮，最優(yōu)控制，MATLAB

1  前言

     近年來，磁懸浮技術(shù)得到了迅速發(fā)展，并得到越來越廣泛的應(yīng)用。磁懸浮由于其無接觸的特點(diǎn)，避免了物體之間的摩擦和磨損，能延長設(shè)備的使用壽命，改善設(shè)備的運(yùn)行條件，因而在交通、冶金、機(jī)械、電器、材料等各個(gè)方面有著廣闊的應(yīng)用前景。目前國外在磁懸浮方面的研究工作主要集中在磁懸浮列車方面，進(jìn)展最快，己從實(shí)驗(yàn)研究階段轉(zhuǎn)向試驗(yàn)運(yùn)行階段。

     以線性二次型性能指標(biāo)為基礎(chǔ)的最優(yōu)控制問題是二十世紀(jì)50 年代末期發(fā)展起來的一種設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的方法, 它把所得到的最有反饋控制與非線性的開環(huán)最優(yōu)控制結(jié)合起來，可減少開環(huán)控制的誤差，達(dá)到更精確的控制目的。

     本文是以固高科技磁懸浮教學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)備為模型基礎(chǔ)，結(jié)合線性二次型最優(yōu)控制的一般理論，實(shí)現(xiàn)磁懸浮系統(tǒng)的平穩(wěn)控制，并通過與經(jīng)典PID控制比較，理論分析及MATLAB仿真，得到更為滿意的結(jié)果。

2  磁懸浮系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

     磁懸浮球控制系統(tǒng)是研究磁懸浮技術(shù)很典型的平臺(tái)，它是一個(gè)典型的吸浮式懸浮系統(tǒng)。

     它的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖1所示，主要由LED光源、電磁鐵、光電位置傳感器、電源、放大及補(bǔ)償裝置、數(shù)據(jù)采集卡和控制對(duì)象（鋼球）等元件組成

圖1磁懸浮實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

2.1系統(tǒng)的工作原理

     電磁鐵繞組中通以一定的電流會(huì)產(chǎn)生電磁力F，只要控制電磁鐵繞組中的電流，使之產(chǎn)生的電磁力與鋼球的重力mg相平衡,鋼球就可以懸浮在空中而處于平衡狀態(tài)。為了得到一個(gè)穩(wěn)定的平衡系統(tǒng)，必須實(shí)現(xiàn)閉環(huán)控制，使整個(gè)系統(tǒng)穩(wěn)定具有一定的抗干擾能力。本系統(tǒng)中采用光源和光電位置傳感器組成的無接觸測量裝置檢測鋼球與電磁鐵之間的距離x的變化。電磁鐵中控制電流的大小作為磁懸浮控制對(duì)象的輸入量。

2.2 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

     實(shí)際系統(tǒng)的模型參數(shù)如下：

     由于輸入量直接是電磁鐵的控制電流，沒有考慮感抗對(duì)系統(tǒng)的影響，而從感性元件儲(chǔ)能的角度加以分析建模。且假設(shè)功率放大器的輸出電流與輸入電壓之間呈嚴(yán)格的線性關(guān)系且無延遲。

     系統(tǒng)可用下列方程來描述：

      拉普拉斯變換后得：

      由邊界方程代入得系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)：

     定義系統(tǒng)對(duì)象的輸入量為功率放大器的輸入電壓也即控制電壓，系統(tǒng)對(duì)象輸出量為所反映出來的輸出電壓為(傳感器后處理電路輸出電壓)，則該系統(tǒng)控制對(duì)象的模型可寫為：    

     由上所得，取系統(tǒng)狀態(tài)變量分別，系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下：

     將以上參數(shù)帶入可得到 

     由以上可以看出，系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控性矩陣的秩等于系統(tǒng)的狀態(tài)變量維數(shù)，系統(tǒng)的輸出完全可控性矩陣的秩等于系統(tǒng)輸出向量的維數(shù)，所以磁懸浮實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)既是可控的又是可觀的，因此可以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，使系統(tǒng)穩(wěn)定。

3  線性二次型最優(yōu)控制方法

3.1 線性二次型最優(yōu)控制器的結(jié)構(gòu)

     其結(jié)構(gòu)框圖如圖2所示

 圖2線性二次型最優(yōu)控制器的結(jié)構(gòu)圖

3.2 線性二次型最優(yōu)控制方法

     設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為：

     其中，是n維的狀態(tài)向量，是m維的控制向量，是維和維矩陣向量。

     設(shè)計(jì)狀態(tài)調(diào)節(jié)器，線性二次型最優(yōu)控制的目的是設(shè)計(jì)，使線性二次型的性能指標(biāo)

     最小,其中_，和分別是對(duì)狀態(tài)變量和輸入向量的加權(quán)矩陣，對(duì)最優(yōu)控制而言，為半正定的對(duì)稱常數(shù)矩陣，為半正定的對(duì)稱常數(shù)矩陣，F為正定的對(duì)稱矩陣。構(gòu)造哈密頓函數(shù)

     求解Riccati矩陣微分方程：

     得到最優(yōu)控制：

     式中為狀態(tài)反饋系數(shù)矩陣，它可用下面式子來描述：

4  系統(tǒng)的MATLAB仿真

      由圖2中得系統(tǒng)模型為：

      現(xiàn)假設(shè)系統(tǒng)的最優(yōu)控制律為，求反饋增益矩陣,使得性能指標(biāo)：

      選取，在Matlab環(huán)境下編寫程序進(jìn)行線性二次型最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)仿真,得最優(yōu)控制器的反饋增益矩陣K的值為：K =[10.3998  1.0042]，沖擊響應(yīng)仿真結(jié)果如圖3所示：

圖3 沖擊響應(yīng)仿真曲線（一）

  選取_，得最優(yōu)控制器的反饋增益矩陣K 的值為：K =[ 32.0173  1.0127]，沖擊響應(yīng)仿真結(jié)果如圖4所示：

圖4 沖擊響應(yīng)仿真曲線（二）

選取，得最優(yōu)控制器的反饋增益矩陣K 的值為：K =[ 100.3929  1.0394]，沖擊響應(yīng)仿真結(jié)果如圖5所示：

圖5 沖擊響應(yīng)仿真曲線（三）

      比較仿真結(jié)果發(fā)現(xiàn)，圖5沖擊響應(yīng)需要的穩(wěn)定時(shí)間較短，并且在穩(wěn)定時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)的幅值變化較小，較好的滿足了系統(tǒng)的平穩(wěn)控制，由此可見本文最優(yōu)控制方法很好的達(dá)到了系統(tǒng)的要求。

      當(dāng)系統(tǒng)采用PID調(diào)節(jié)器的時(shí)候，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖6所示：

圖6 PID系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

      經(jīng)多次設(shè)置PID參數(shù)進(jìn)行仿真比較，當(dāng)PID參數(shù)時(shí)，系統(tǒng)控制性能得到最佳結(jié)果，仿真結(jié)果如圖7所示：

圖7 沖擊響應(yīng)仿真曲線（四）

      采用PID調(diào)節(jié)器的控制結(jié)果和最優(yōu)控制方法相比，雖然能達(dá)到控制目的，但控制指標(biāo)效果不理想，且多次試驗(yàn)參數(shù)時(shí)間較長，采用最優(yōu)控制通過最優(yōu)化算出反饋增益，減少時(shí)間，達(dá)到比較滿意的控制指標(biāo)。

結(jié)束語

      本文結(jié)合線性二次型最優(yōu)控制的一般理論，實(shí)現(xiàn)磁懸浮系統(tǒng)的平穩(wěn)控制，并通過理論分析及MATLAB仿真，且與經(jīng)典PID控制比較仿真結(jié)果發(fā)現(xiàn)，最優(yōu)控制方法需要的穩(wěn)定時(shí)間較短，并且在穩(wěn)定時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)的幅值變化較小，較好的滿足了系統(tǒng)的平穩(wěn)控制，由此可見本文最優(yōu)控制方法很好的達(dá)到了系統(tǒng)的要求。