摘要：利用拉格朗日法和假設(shè)模態(tài)方法建立了末端柔性的兩臂漂浮基空間機器人的非線性動力學方程．通過坐標變換，推導出一種新的以可測關(guān)節(jié)角為變量的全局動態(tài)模型，并在此基礎(chǔ)上運用基于模型的非線性解耦反饋控制方法得到關(guān)節(jié)相對轉(zhuǎn)角與柔性臂的彈性變形部分解耦形式控制方程．最后，討論了柔性臂漂浮基空間機器人的軌跡跟蹤問題，并通過仿真實例計算，表明該模型轉(zhuǎn)換及控制方法對于柔性臂漂浮基空間機器人末端軌跡跟蹤控制的有效性． 關(guān)鍵詞：柔性臂漂浮基空間機器人；動力學；模型轉(zhuǎn)換；軌跡跟蹤控制 Modeling and Trajectory Tracking Control of a Free-Floating Space Robot with Flexible M anipulators —HONG Zai．di ，YUN Chao ，CHEN Li （1．Beihang University，Beijing 100083，China； 2．Fuzhou University。Fuzhou 350002，China） Abstract：Nonlinear dynamic equations of a free——floating space robot with two manipulators and a flexible end—manipulator are established based on Lagrange and assumed mode methods．Its new global dynamic model in terms of measured joints is derived by coordinate transformation，and the decoupled control quations for joint relative angles and elastic parts of the flexible manipulator are obtained with the model—based nonlinear decoupling feedback control method．Trajectory tracking control of the free floating space robot with flexible manipulators is iscussed，and the numerical simulation shows that the proposed model transformation and control method is eficient in trajectory tracking control of free floating space robot with flexible manipulators． Keywords：free—floating space robot with flexible manipulators；dynamics；model transformation；trajectory tracking control 1 引言（Introduction） 漂浮基空間機器人是機器人的一個重要發(fā)展方向，其主要任務是在宇宙空間代替宇航員完成捕捉失效衛(wèi)星、建造空間站、維修空間站設(shè)施等工作，其原理模型如圖1所示．為節(jié)省控制燃料、增加空間機器人的有效使用壽命，進而減少發(fā)射費用，空間機器人在操作過程中載體位置、姿態(tài)均不受控制，且一般使用質(zhì)量輕、臂展大的柔性操作臂．在這種情況下，機械臂的運動與載體的位姿之間、柔性臂的剛體大位移和彈性振動之間存在著強烈的動力學耦合作用．在操作過程中，機械臂的相對運動引起載體位姿的變化，柔性臂的彈性振動影響關(guān)節(jié)、末端軌跡跟蹤精度．其突出特點表現(xiàn)為：空間機器人為非完整動力學系統(tǒng)，系統(tǒng)動力學方程關(guān)于系統(tǒng)慣性參數(shù)呈非線性函數(shù)關(guān)系，系統(tǒng)運動Jacobi關(guān)系不僅與系統(tǒng)幾何參數(shù)有關(guān)，還與質(zhì)量等慣性參數(shù)以及柔性臂抗彎剛度有關(guān)．在上述情況下，在空間機器人動力學分析及控制規(guī)律的設(shè)計中應考慮結(jié)構(gòu)彈性，這大大增加了控制系統(tǒng)的設(shè)計難度．目前，空間機器人的研究工作已開展了很多¨ J，值得注意的是，其中大部分研究工作是針對剛性臂的空間機器人進行的，而針對柔性臂空間機器人的研究相對較少．顧曉勤 副提出了消除彈性變形對負載位姿影響的方法，并進一步尋求最小驅(qū)動力矩及抑制彈性振動的控制規(guī)律。本文應用拉格朗Et建模方法和假設(shè)模態(tài)柔性變形描述方法建立末端柔性的兩臂漂浮基空間機器人的非線性動力學方程，通過坐標變換 J，推導出一種新的以可測關(guān)節(jié)角為變量的全局動態(tài)模型．在此基礎(chǔ)上，運用基于模型的非線性解耦反饋控制理論，對動力學方程進行部分線性化，實現(xiàn)關(guān)節(jié)相對轉(zhuǎn)角與柔性臂的彈性變形部分解耦，從而由剛性臂空間機器人逆運動學方法確定關(guān)節(jié)角的運動規(guī)律，進而利用柔性機械臂的力矩控制方法求出關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩，以保證臂末端的實際軌跡達到跟蹤的期望軌跡．通過仿真實例計算，證明了該模型轉(zhuǎn)換及控制方法在柔性臂漂浮基空間機器人應用中的有效性． 2 系統(tǒng)的運動學與動力學（Kinematics and dynamics） 2．1 模型建立 不失一般性，考慮做平面運動的末端柔性的兩臂漂浮基空間機器人系統(tǒng)，如圖1．系統(tǒng)由漂浮的剛性載體B[sub]0[/sub] 剛性連桿B[sub]1[/sub] 和末端柔性連桿B[sub]2[/sub] 組成．建立各分體B[sub]i[/sub] 的聯(lián)體坐標系（0[sub]i[/sub] 一x[sub]i[/sub]y[sub]i [/sub]）（i=0，1，2），其中0[sub]0[/sub]與b[sub]0[/sub]的質(zhì)心0[sub]c0[/sub]重合，0[sub]1[/sub] 、0[sub]2[/sub]：分別與連接b[sub]0[/sub]與B[sub]1[/sub]、B[sub]1[/sub]與B[sub]2[/sub]的轉(zhuǎn)動鉸中心重合； x[sub]0[/sub]與0[sub]0[/sub]0[sub]1[/sub]重合， x[sub]1[/sub]為機械臂的對稱軸，x[sub]2[/sub]是機械臂B[sub]2[/sub]未變形時的對稱軸，且在運動中始終與柔性梁在0[sub]2[/sub]相切．設(shè)0[sub]1[/sub]在0[sub]0[/sub]x[sub]0[/sub]軸上與0[sub]0[/sub]的距離為l[sub]0[/sub]，b[sub]1[/sub]質(zhì)心0[sub]c1[/sub]沿0[sub]1[/sub]x[sub]1[/sub] 的長度為a，B[sub]i[/sub]沿0[sub]i[/sub]x[sub]i[/sub]的長度為l[sub][/sub]（i=1，2）；分體B[sub]i[/sub]質(zhì)量和中心慣量分別為m[sub]i[/sub]和l[sub]i[/sub]（i=0，1），且柔性蓮桿線密度為P． 任取一點0建立系統(tǒng)參考慣性坐標系（0-XY），各分體沿（ x，y）平面做平面運動，設(shè)e[sub]i [/sub]為x[sub]i[/sub]（ =0，1，2）軸的基矢量，矢量e[sub]3[/sub] 為Y[sub]2[/sub]軸的基矢量．忽略柔性臂軸向變形，由Euler—Bemolli梁理論，柔性臂的彈性位移“模態(tài)函數(shù)展開表示為： 其中φ[sub]i[/sub]（x[sub]2[/sub]）為柔性臂第i階模態(tài)函數(shù)，δ[sub]i[/sub]（t）為與φ[sub]i[/sub]（x[sub]2[/sub]）對應的模態(tài)坐標． 設(shè)各分體質(zhì)心0[sub]ci[/sub]相對0的矢徑為r[sub]i[/sub]（i=0，1），柔性臂上任一點P相對0的矢徑為r．由系統(tǒng)幾何關(guān)系得： 設(shè)載體、剛性連桿、柔性連桿的動能分別為Ti（i=0，1，2），系統(tǒng)的總動能為T，由理論力學知識易得到： 則本文中變量上標“·”和“[sup]..[/sup]”分別表示相應變量對時間的一階導數(shù)和二階導數(shù)。 忽略重力的作用，可認為整個系統(tǒng)重力勢能為零；且柔性機械臂為線彈性變形，故系統(tǒng)總勢能等于柔性連桿的彎曲應變能．由材料力學相關(guān)理論，并取系統(tǒng)廣義模態(tài)坐標前兩項得： 其中EI為柔性臂抗彎剛度。故系統(tǒng)的拉氏函數(shù)為L＝T[sub]0[/sub]＋T[sub]1[/sub]＋T[sub]2[/sub]－V. 假設(shè)空間機器人系統(tǒng)在操作過程中處在漂浮狀態(tài)，載體的姿態(tài)和位置均無控制，則設(shè)變量為系統(tǒng)廣義坐標，其中x[sub]0[/sub]、y[sub]0[/sub]為矢徑r[sub]0[/sub]分別向X 、Y軸投影的值，α為x[sub]0[/sub]軸相對X軸的偏角，θ[sub]1[/sub]為x[sub]1[/sub]軸相對x[sub]0[/sub]軸的轉(zhuǎn)角，θ[sub]2[/sub]為x[sub]2[/sub]軸相對x[sub]1[/sub] 軸的轉(zhuǎn)角，因此相應的廣義力為其中為o[sub]1[/sub]、o[sub]2[/sub]鉸關(guān)節(jié)控制力矩．由于空間機器人系統(tǒng)在操作過程中處在漂浮狀態(tài)，載體的姿態(tài)和位置均無控制，且忽略重力的影響，空間機器人系統(tǒng)為無外力作用的自由浮動無根多體系統(tǒng)，遵守對（0-XY）的動量守恒及相對0點的動量矩守恒關(guān)系，即系統(tǒng)運動受到線動量守恒及角動量守恒關(guān)系的約束．不失一般性，設(shè)系統(tǒng)相對（0-XY）的初始動量和相對0點的初始動量矩均為零，載體、剛性機械臂和柔性機械臂相對于坐標系（0-XY）的動量分別為Q （i=0，1，2），系統(tǒng)總動量Q-根據(jù)理論力學知識得： 則。將．將Q分別向X軸和Y軸投影，結(jié)合假設(shè)初始條件推導寫成矩陣形式如下： 將拉氏函數(shù)和廣義力代入拉格朗日方程： 其中q[sub]i[/sub]為系統(tǒng)的廣義坐標， F[sub]i[/sub]為廣義坐標q[sub]i[/sub] 相對應的廣義力．不考慮結(jié)構(gòu)粘性阻尼，結(jié)合式（12），經(jīng)過推導并整理，可得到如下封閉形式的柔性臂空間機器人系統(tǒng)的動力學非線性方程； 其中，為4×4正定、對稱、時變廣義質(zhì)量陣，，包含哥氏力、離心力和彈性力，為變量耦合4×1列陣．記M[sub]4×4[/sub]= 2.2 模型轉(zhuǎn)化 式（14）給出模型夫于變量0的方程，但在實際系統(tǒng)中θ的方程，但在實際系統(tǒng)中，θ[sub]1[/sub]θ[sub]2[/sub]只能得到由編碼器測的角位移θ[sub]c[/sub]： 3 軌跡跟蹤控制（Trajectory tracking contro1） 式（16）是關(guān)于σ 、θ[sub]c[/sub]、δ變量的系統(tǒng)動力學方程，對于臂末端軌跡跟蹤控制系統(tǒng)，由于彈性變形變量是不可觀i貝4的，利用非線性解耦反饋控制方法對式（16）進行部分線性化．式（16）寫成兩式： 式（2O）在形式上與剛性臂漂浮基空間機器人的方程相似，類似于剛性臂漂浮基空間機器人的廣義質(zhì)量陣；類似于剛性臂漂浮基空間機器人的非線性哥氏力、離心力項． 設(shè)基于模型的控制規(guī)律為： 其中為給定的期望關(guān)節(jié)角軌跡、角速度和角加速度規(guī)律．式（19）一（23）導出柔性臂空間機器人系統(tǒng)的控制方程如下： 式（24）對應于機械臂關(guān)節(jié)變量θ[sub]c[/sub]的線性方程組，式（25）對應于彈性變量δ的耦合非線性方程組．式（2O）、（22）一（25）構(gòu)成了基于非線性解耦反饋控制的軌跡跟蹤控制方案． 設(shè)關(guān)節(jié)角偏差e（t）=θ[sub]c[/sub]（t）一θ[sub]d[/sub]（t），由式（24）可得偏差方程如下： 選擇適宜的K[sub]p[/sub]和K[sub]v[/sub] 可使式（26）完全解耦，進而使機械臂關(guān)節(jié)角θ[sub]c[/sub]跟蹤期望的關(guān)節(jié)角軌跡θ[sub]d[/sub]．柔性臂空間機器人末端軌跡跟蹤過程為：利用剛性臂空間機器人的逆運動學方程求出與臂末端軌跡對應的各關(guān)節(jié)角運動規(guī)律，再由帶柔性臂空間機器人的力矩控制方程確定關(guān)節(jié)的驅(qū)動力矩，輸入到系統(tǒng)中得到柔性臂空間機器人末端跟蹤期望軌跡的實際運動軌跡． 4 仿真算例（Simulation example） 設(shè)空間機器人系統(tǒng)動力學參數(shù)如下： 反饋增益矩陣 K[sub]p[/sub]=diag[22]，K[sub]v[/sub]=diag[160 160]． 本系統(tǒng)柔性機械臂可視為懸臂梁，由振動理論可知，懸臂梁的主振型函數(shù)為： 取前二階模態(tài)（i=1，2），由懸臂梁的振動模態(tài)可知： 仿真采用末端期望軌跡規(guī)律： 仿真結(jié)果如下： 5 結(jié)論（Conclusion） 由于漂浮基空間機器人采用輕質(zhì)細長機械臂，結(jié)構(gòu)彈性在軌跡跟蹤控制規(guī)律中的設(shè)計中必須予以考慮。在操作過程中，機械臂的運動引起載體位姿的變化，柔性臂的振動影響關(guān)節(jié)、末端軌跡跟蹤精度，這使得末端軌跡跟蹤十分困難。理論分析及仿真結(jié)果表明，本文所提出模型轉(zhuǎn)換及控制方法對于求解非線性、強耦合性的柔性臂漂浮基空間機器人末端的軌跡跟蹤控制是有效的，而且實際運動軌跡與設(shè)定期望相比誤差也較小，已經(jīng)滿足控制設(shè)計要求。本文所述的模型轉(zhuǎn)化方法給柔性臂浮基空間機器人反饋控制器的設(shè)計和實現(xiàn)帶來方便，可減少在實際控制中由于動力學模型變量與實際檢測變量不同而引起的變量轉(zhuǎn)換，且可有效抑制柔性臂振動． 進一步仿真分析發(fā)現(xiàn)，為了滿足跟蹤誤差精度要求，可適當調(diào)整K[sub]p[/sub] 、K[sub]v[/sub]值；增加K[sub]p[/sub]值，可以有效抑制機械臂末端的振動并降低跟蹤誤差；在同等精度條件下， 。取值比在全剛性機械臂情形下尢從圖3可知，當空間機器人運動時，柔性臂將會出現(xiàn)一定的微振動，這是考慮機械臂的彈性變形所引起的．本文的模型轉(zhuǎn)換及控制方法雖然是針對末端柔性的兩臂空間機器人系統(tǒng)提出的，但同樣適用于一般多柔性臂的空間機器人系統(tǒng)． [1] Papadopoulos E G，Dubwsky S．On the nature of control algorithms for free floating space manipulators[J] IEEE Transactions on Robotics and Automation，199 ，7（6）：750—758． [2] 陳力，劉延柱．漂浮基空間機器人協(xié)調(diào)運動的自適應控制與魯棒控制[J] 機械工程學報，2001，37（8）：18—22． [3] 陳力，劉延柱．參數(shù)小確空間機械臂的增廣自適應控制[J]．航空學報，000，21（2）：150—154． [4] 陳力，劉延柱．空間機器人狀態(tài)與末端抓手協(xié)調(diào)運動的魯棒自適應控制[J]，工程力學，2002，19（2）：165—170， [5 ] 陳力，劉延柱．漂浮摹帶滑移鉸空間機械臂的分解運動自適應控制算法[J]．應用力學學報，2000，17（4）：131—137． [6] 洪在地，陳力．漂浮基空間機器人雙臂協(xié)調(diào)操作逆運動學的完全笛卡爾坐標方法[J]，機械科學與技術(shù)，2003，22（6）：931— 933． [7] 顧曉勤：彈性空間機械臂動力學與控制[J]，空間科學學報，1997，17（4）：377—381． [8] 顧曉勤，譚朝陽．漂浮彈性空間機械臂動力學及振動抑制[J]．宇航學報，1999，20（3）：9l一95， [9] 朱蓓蓓，徐建閩，周其節(jié)．兩連桿柔性前臂機器人的模型[J]．華南理工大學學報（自然科學版），1997，25（12）：8—11． 作者簡介： 洪在地（1977一），男，博士生．研究領(lǐng)域：機器人技術(shù)． 負超（1952一），男，教授．研究領(lǐng)域：柔性多體系統(tǒng)動力學，機器人技術(shù)和機器人控制． 陳 力（1961-），男，博士，教授．研究領(lǐng)域：多體系統(tǒng)動力 學，空間機器人系統(tǒng)動力學與控制，非線性振動及振動控制．